¿Demasiado grande o demasiado pequeño?

¿Qué tan grande o pequeño es el Universo? Muchas veces es difícil saberlo a ciencia cierta o tan siquiera ponernos a pensar en lo inmenso que puede ser o lo pequeño que pueden ser algunas cosas. Pero siempre tratamos de imaginarlo. ¿De qué tamaño es un átomo? ¿De qué tamaño es un planeta? ¿De qué tamaño es el mundo de Minecraft? ¿Qué tan grande es un óvulo humano?

Pues bien, tratando de responder a estas preguntas es como nace la visualización interactiva The Scale of The Universe 2; la visualización es sorprendente porque nos permite ir a escalas mínimas y llegar hasta el tamaño aproximado del Universo, comparando cosas que están, de muchas maneras, más allá de nuestra imaginación (sigo pensando que es difícil imaginarse el tamaño real de un átomo, o el de una galaxia). 

Pueden visitarlo aquí y si no funciona el enlace pueden ver un vídeo en Youtube.

Explicando con ejemplos la regla de los signos

"Quedé desconcertado cuando comprobé que nadie me podía explicar

por qué menos por menos da más"

 (STENDALL 1783 - 1842, el más importante escritor del realismo francés)

Esta manera de explicar la regla de los signos con ejemplos particular solo es buena como un primer intento de aproximación. Sin embargo, esto no es del todo válido en las Matemáticas formales, ya que para ellas, un ejemplo particular no sirve para explicar una regla general. Pero de momento a nosotros nos vale...

Haciendo una analogía de la amistad:

Los amigos de mis amigos son mis amigos

Los amigos de mis enemigos son mis enemigos

Los enemigos de mis amigos son mis enemigos

Los enemigos de mis enemigos son mis amigos


Con ejemplos económicos:

3 × 5 = 15: Si te dan tres veces cinco euros tienes 15 euros.
3 × (-5) = -15: Si pagas tres veces una multa de cinco euros es como pagar una multa de 15 euros.
(-3) × 5 = -15: Que te pidan prestado tres veces cinco euros es como que te pidan 15 euros.
(-3) × (-5) = 15: No pagar tres veces una multa de cinco euros es como que te den 15 euros.


Con ejemplos automovilísticos:

Imaginemos que vamos conduciendo un vehículo por una ruta a cuarenta kilómetros por hora, al cabo de tres horas recorrimos:

3 x 40 = 120 (kilómetros hacia delante)

De manera similar podemos analizar que si venimos andando desde hace tiempo y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas:

(-3) x 40 = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y si en vez de ir hacia delante íbamos marcha atrás. Al cabo de tres horas habremos recorrido:

3 x (-40) = -120 (kilómetros hacia atrás)

Y ahora: ¿si venimos andando desde hace tiempo pero marcha atrás y quisieramos saber donde estábamos hace tres horas?

(-3) x (-40) = 120 (kilómetros hacia delante)

Corrigiendo problemas de matemáticas: el síndrome de Yoda.

La competencia lingüística se trabaja desde todas las asignaturas. O al menos así debería ser.

En la resolución de problemas en matemáticas es muy frecuente encontrarse con alumnos que padecen el denominado "síndrome de Yoda". Dicha patología suele manifestarse a la hora de expresar la solución de un problema mediante un enunciado lingüístico (¡esa dichosa manía que tienen los profes de "mates" de que les pongamos planteamiento, desarrollo y solución!).

Como para el alumno el dato númerico es lo más importante (lo que ha calculado, el objeto del problema, la condición necesaria para obtener la máxima puntuación en el ejercicio), suelen ponerlo en primer lugar y detrás de él, sin orden ni concierto, el resto de elementos de la oración. Esta práctica nos lleva en ocasiones a encontrarnos con hipérbatos a la altura del arpa cubierta de polvo de nuestro querido Bécquer.

He aquí algunos ejemplos reales de mis alumnos:  
28 alumnos hay. 470 le queda de dinero. 102 € le quedan para comprarse el juego. 45 manzanas sobran.

Cuando quizás hubiera sido más lógico escribir: 
Hay 28 alumnos. Le quedan 470 euros. Le faltan 102 euros para poder comprarse el juego. Sobran 45 manzanas.

 

Como profesores de matemáticas, aunque lo nuestro sean los números, deberíamos hacer un esfuerzo y poner hincapié también en la expresión oral y escrita de nuestros alumnos. Tan importante es encontrar la correcta solución de un problema como comunicarla adecuadamente a los demás.

Lo ideal en estos casos sería llegar a un acuerdo con el resto de profesores que entran en el aula para unificar criterios de evaluación y calificación en este sentido. Es cierto que suele existir un documento elaborado por el departamento de Lengua en el que se explicitan estos criterios, pero en más ocasiones de las deseables este documento suele ser papel mojado. Haría falta una verdadera aplicación por parte de todo el profesorado para que los alumnos percibieran la importancia del asunto y entiendieran que vamos en serio, que no es una manía del profe de lengua o del de naturales.

Siempre es más fácil luchar contra la corriente si estamos acompañados. Y los resultados son notablemente mejores. 1 + 1 a veces es más que 2.

Sociedad en red: del número de Erdős a los sentineleses.

Paul Erdős fue un matemático húngaro inmensamente prolífico y famoso por su excentricidad que, con cientos de colaboradores, trabajó en problemas sobre combinatoria, teoría de grafos, teoría de números, análisis clásico, teoría de aproximación, teoría de conjuntos y probabilidad. Su vida fue documentada en la película N es un número: El retrato de Paul Erdős, hecha mientras él todavía estaba vivo, y el libro El hombre que solo amaba a los números (1998). 

Debido a sus numerosos aportes, colaboradores y amigos inventaron el número de Erdős como un homenaje con tintes de humor matemático: Para que a una persona se le pueda asignar un número Erdős, ésta debe de haber co-escrito un trabajo matemático con un autor con un número Erdős finito. 

Paul Erdős tiene un número Erdős de cero. Si el número Erdős más bajo de un coautor es X, entonces el número Erdős del autor es X+1. Erdős escribió cerca de 1500 artículos matemáticos, la mayoría de ellos en co-autoría. Tuvo 509 colaboradores directos;1 éstas son las personas con un número Erdős de 1. La gente que hubo colaborado con ellos (pero no con Erdős mismo) tiene un número Erdős de 2 (6,984 personas), aquellas personas que han colaborado con gente que tiene un número Erdős de 2 (pero no con Erdős mismo, ni con alguien con un número Erdős de 1) tienen un número Erdős de 3, y así sucesivamente. Una persona con ninguna conexión a la cadena de coautoría de Erdős tiene un número Erdős indefinido o infinito.

Una adaptación de este curioso mecanismo es el número de Bacon,  que indica el número de actores o actrices que separan a cualquiera de ellos con Kevin Bacon. Esta relación es extraída de la base de datos Internet Movie Data Base, y se establece para cada actor o actriz a partir de sus apariciones con personas que han trabajado con Kevin Bacon o con alguien que tenga el menor número de Bacon posible. Cuanto más alto sea el número, el actor estará más alejado de Kevin Bacon. Curiosamente el número de saltos no suele ser mayor a 6 ó 7, y sólo hay 17 actores que necesitan 8 saltos hasta llegar a él, de los más de 700.000 incluidos en la IMDB.

El número de Bacon no deja de ser un desarrollo sobre una base de datos verificable de la hipótesis de los seis grados de separación, que intenta probar que cualquiera en la Tierra puede estar conectado a cualquier otra persona del planeta a través de una cadena de conocidos que no tiene más de cinco intermediarios (conectando a ambas personas con sólo seis enlaces), algo que se ve representado en la popular frase «el mundo es un pañuelo».

El psicólogo social Stanley Milgram llevo a cabo un experimento sobre el llamado Mundo pequeño (modelo consiste en una red matricial donde cada nodo está conectado con sus vecinos directos hasta una distancia dada, estableciéndose además enlaces aleatorios con nodos situados a cualquier distancia de la red), que consistía en establecer una cadena de correspondencia postal iniciada a partir de unos individuos seleccionados al azar que terminan, después de un número variable de reenvíos, en una persona determinada a priori.

Existe una serie de críticas metodológicas que se le hacen al Experimento de Milgram del Mundo Pequeño, que sugieren que la longitud promedio de las cadenas de contactos puede ser en realidad más larga o más corta de lo que Milgram estimó. Se argumenta que el estudio de Milgram presenta una selectividad y prejuicio irresponsable, debido a la forma en la que los participantes fueron seleccionados, además de altos registros de casos en los que no hubo respuestas. Si se asume un porcentaje constante de “no respuestas” por cada cadena, las cadenas más largas se verían subestimadas, ya que es más probable encontrar personas no dispuestas a participar. Por lo tanto, el experimento de Milgram subestima la longitud verdadera de las cadenas de contactos.

Se presupone que es imposible que la totalidad de la población mundial esté interconectada tan solo por seis grados de separación, ya que, por ejemplo, existen ciertas poblaciones que nunca han tenido contacto con personas fuera de su propia cultura, como es el caso de los Sentineleses, en las Islas Andamán, en India.
Actualmente la población Sentineleses está estimada en 250 personas, lo que representa tan sólo el 0,000000038% de la población del planeta.



 ¿Es posible pensar que el resto de los 99,999999962% de la población mundial puede estar conectado de esta forma?

Porcentajes

En un par de días veremos en clase (calculando intereses de productos bancarios o estudiando el sobrecoste que nos supondría comprar mobiliario "aprovechando" determinadas condiciones de financiación), la importancia de esta forma de relacionar cantidades para analizar y comprender multitud de aspectos de nuestra realidad cotidiana.

 

Os dejo a continuación un artículo periodístico publicado en el diario El país sobre la industria cultural. Como veréis, un ejemplo más de la importancia de los porcentajes si queremos estar al tanto de lo que pasa a nuestro alrededor. Debéis leerlo con atención y buscar en el diccionario aquellas palabras que no entendáis. Una vez que expliquemos en clase este tema os haré ciertas preguntas para que analicéis la información del texto usando los procedimientos aprendidos.

La gran caída

 A falta de cerrar 2013, y pendientes de la última hornada de estrenos del día de Navidad a la cartelera, los primeros cálculos económicos del cine en España apuntan que las salas recaudarán unos 500 millones de euros; 114,20 millones menos que en 2012, un descenso de 135,85 millones respecto a 2011.

A duras penas se alcanzarán los 80 millones de entradas vendidas en España en las salas comerciales de cine en 2013.

En teatro la asistencia de público ha bajado por culpa principalmente de la subida del IVA hasta el 21%. Los datos de recaudación neta del sector al final de la temporada, es decir, en agosto, muestran que de los 247 millones de la temporada 2011-2012 se ha pasado a los 163 millones de la presente temporada; un descenso de 84 millones (33,99%).

En las industrias culturales en 2012 hubo un descenso de las taquillas del 10%.

Las artes escénicas han perdido en el último lustro el 30%, según el último Anuario de las artes escénicas, musicales y audiovisuales, de la SGAE.

En la danza, en 2012 el bajón llegó hasta el 43,41% en su número representaciones.

Las ventas en libros habrán caído al final de 2013 por sexto año consecutivo, acumulando un 38%, de cumplirse los pronósticos de un 10% menos en estos últimos 12 meses.

El 68% de quienes leen en formato digital lo hacen con descargas ilegales.

Solo el 63% de los españoles dice leer al menos un libro al año, mientras la media europea es del 71%.

Durante 2012 se celebraron 116.446 conciertos en España, un 4,3% menos que en 2011, con 26 millones de espectadores y una recaudación de 171,7 millones de euros.

Desde hace una década las ventas de discos han bajado un 77, 5%.